Appunti Matematica

Posted on 9/9/2012, 15:08

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Posto qua perchè non mi sembra una curiosità o.o ma almeno sta in evidenza ^^ così se serve a qualcuno può darci un occhiata.
Sono gli appunti che sto facendo sugli argomenti dell'anno scorso di matematica, spero che vi siano utili.
Li posterò sia qui (al più presto possibile), che in versione download, così che vi possa essere più comodo consultarli.

N.B.: Io consiglio il dowload perchè è molto più ordinato nei dettagli.

Lezione 1 - Esponenziali Download

SPOILER (clicca per visualizzare)

Esponenziale: Si definisce esponenziale quel numero in cui compare una base a positiva (≠1) elevata ad una variabile indipendente b.

y = a^b

Rappresentazione grafica:

Osservazioni:

1) Le curve esponenziali passano sempre per il punto (0,1).
2) Il dominio è (-∞,+∞), mentre il codominio è (0,+∞).
3) Se la base a è > 1 allora la funzione è crescente, se la base è < 1 allora è decrescente. (se è = 1 è una retta parallela all’asse x).
4) Se due funzioni esponenziali hanno base inversa (es. y = a ^1/2 e y = a²) i loro grafici sono simmetrici rispetto all’asse y.
5) Se nella f(x) y = a^x la base a è > 1, allora :
§ lim x -> +∞ di a^x = +∞
§ lim x -> -∞ di a^x = 0.
6) Se nella f(x) y = a^x la base a è 0< x<1, allora
§ lim x -> +∞ di a^x = 0
§ lim x -> -∞ di a^x = +∞

Equazioni esponenziali:

1° Tipo: E’ un’equazione esponenziale in cui compaiono solo prodotti e quozienti come operatori matematici. Per risolverla bisogna applicare le proprietà delle potenze in modo da eguagliare le basi delle 2 potenze.

2° Tipo: Equazioni esponenziali con somme algebriche aventi stessa base e stesso esponente (o riconducibile ad essa).
Per risolverle il primo passo è riscrivere le potenze in modo che abbiano stessa base e stesso esponente, il secondo passo è raccogliere la potenza e infine il terzo passo è isolare la potenza.

3°Tipo: Equazioni esponenziali di potenze nella stessa base ma con esponenti multipli fra di loro (o riconducibili a questa forma).

Il numero di Nepero:
Il numero di Nepero è collegato con la funzione esponenziale ( e logaritmica) che associa ad un numero reale x il numero dato dalla potenza e^x, e con la funzione logaritmo naturale (la funzione inversa dell'esponenziale). In particolare in maniera formale è possibile definire come il valore che la funzione esponenziale e^x assume in 1.

Lezione 2 - Logaritmi Download

SPOILER (clicca per visualizzare)

Logarimo: Si definisce logaritmo in base a di b, quel numero c a cui elevare a per ottenere b.

log_ab = c se e solo se a^c = b

Condizioni di esistenza:

1) L’argomento del logaritmo deve essere positivo, b > 0.
2) La base deve essere positiva, a > 0.
3) La base non deve essere nulla, a ≠ 0.

Rappresentazione grafica:

Osservazioni:

1) Le curve esponenziali passano sempre per il punto (1,0).
2) Il codominio è (-∞,+∞), mentre il dominio è (0,+∞).
3) Se la base a è > 1 allora la funzione è crescente, se la base è < 1 allora è decrescente.
4) Se due funzioni logaritmiche hanno base inversa (es. y = log₂x e y = log_1/2x) i loro grafici sono simmetrici rispetto all’asse x.
5) Se nella f(x) y = logax la base a è > 1, allora
§ lim x -> o+ di logax = -∞
§ lim x -> +∞ di logax = +∞.
6) Se nella f(x) y = logax la base a è 0< x<1, allora
§ lim x -> o+ di logax = +∞
§ lim x -> -∞ di logax = -∞

Formule dei logaritmi:

1) Logaritmo del prodotto --> log_c(a • b) = log_ca + log_cb,
2) Logaritmo del quoziente --> log_c( b/a ) = log_ca - log_cb,
3) Logaritmo di una potenza --> log_caⁿ = n (log_ca),
4) Formula del cambiamento di base --> log_ab = log_cb / log_ca,
5) a = ^{b (log in base b di a)}.

Equazioni logaritmiche:

In quanto le funzioni logaritmiche hanno un dominio ristretto, bisognerà sempre controllare che gli argomenti soddisfino le condizioni di esistenza, rendendo l’equazione accettabile. Le equazioni esponenziali devono essere semplificate nella forma log a f(x) = log a g(x) => f(x) = g(x), per le quali sarà poi necessario verificare quali siano le soluzioni accettabili, ovvero quelle che non rendano negativo nessuno degli argomenti.

Disequazioni logaritmiche:

Nelle disequazioni logaritmiche bisogna creare un sistema in cui mettere le condizioni di esistenza dei logaritmi con la disequazione data. Ci sono due casi:
Caso 1: logax > log_abⁿ con a > 1 => x > bⁿ,
Caso 2: logax > loga_bⁿ con 0 < a < 1 => 0 < x < bⁿ.

Lezione 3 - Limiti Download

Lezione 4 - Continuità Download

Lezione 5 - Derivate Download

Lezione 6 - Teoremi funzioni derivabili Download

Lezione 7 - Studio di funzione Download

Edited by ~ Ludmilla ~ - 12/9/2012, 19:46